본 글은 네이버 부스트코스에서 제공하는 하버드 확률론 기초: Statistics 110 강의를 기초로 정리하였습니다. 누적분포함수 CDF실수 $x$에 대한 함수의 누적분포함수 $CDF$는 모든 확률변수에 대해 적용되며, 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$F(x)=P(X \leq x)$$ 연속형과 이산형에 따른 누적분포함수의 그래프는 다음과 같다.연속분포이산분포 확률질량함수와 누적분포함수누적분포함수(이산)에서 확률질량함수는 위 그래프에서의 각 점프의 수직 높이와 같다. 즉, 점프의 수직 높이는 X가 특정 값일 확률. 또한 누적분포함수는 확률질량함수의 단순 합과 같다. 누적분포에서 X에 대한 모든 확률을 찾을 수 있다. 누적분포함수 관점에서 $P(1\leq x\leq 3)$을 구해보자. $X=..

본 글은 네이버 부스트코스에서 제공하는 하버드 확률론 기초: Statistics 110 강의를 기초로 정리하였습니다. 분포는 X가 어떻게 다르게 행동할지에 대한 확률을 말한다. 이항분포 $X \sim Bin(n,p)$n은 임의의 양의 정수, p는 0과 1 사이의 임의의 실수의 값을 가진다. 이항분포의 해석확률변수 X가 이항분포를 따른다고 할 때, 아래 세 가지 관점에서 접근할 수 있다. StoryX는 n개의 독립적인 베르누이 시행 $Bern(p)$에서 성공한 횟수 지시확률변수의 합의 꼴 Sum of indicator random variables각 확률변수는 독립적($i.i.d$)이며 베르누이 분포를 따른다는 것은 다음과 같다. $$X=X_1+X_2+···+X_n, \ X_j=\begi..

본 글은 네이버 부스트코스에서 제공하는 하버드 확률론 기초: Statistics 110 강의를 기초로 정리하였습니다. Conditioning조건을 부여하는 것 Conditioning은 통계학의 핵심이며, 확률변수 Random variables와 그 분포에 관련이 있다. 도박꾼의 파산 문제 Gambler's Ruin도박꾼의 파산문제 도박꾼 A와 도박꾼 B는 각 라운드에서 1달러씩 걸며 동일한 경기를 반복하고 있다. 둘 중 한 명이 파산하면 게임은 종료되는데, A가 게임을 이길 확률, 다시 말해 B가 파산해 게임이 종료될 확률은? → 유사한 문제에 대응할 수 있도록 패턴을 파악하는 것이 중요하다. 사건 정의와 가정사건 정의p: 한 라운드에서 A가 이길 확률q: 1-p 가정(1) 매 라운드는 독립적이..

본 글은 네이버 부스트코스에서 제공하는 하버드 확률론 기초: Statistics 110 강의를 기초로 정리하였습니다. 문제가 완벽히 같더라도 다른 표현과 환경을 제시한다면, 불가능하게 들릴 수 있다. Monty Hall problem문제총 세 개의 문이 있고, 하나의 문 뒤에는 차량이 그리고 남은 두 개의 문 뒤에는 염소가 놓여 있다. 몬티는 각각의 문 뒤에 놓인 것이 무엇인지 알고 있으며, 참가자는 차량이 뒤에 놓인 문을 열고 싶어 한다. 참가자가 문을 하나 선택하면 몬티가 남은 두 개의 문 중 염소가 뒤에 놓인 문을 열며, 참가자는 처음 선택을 번복할 수도 혹은 고수할 수도 있다. 추가 가정몬티가 남은 두 개의 문 중 하나의 문을 열 때, 열게 될 문을 선택할 확률은 동일하다. Lazy Mon..

본 글은 네이버 부스트코스에서 제공하는 하버드 확률론 기초: Statistics 110 강의를 기초로 정리하였습니다. 조건부 확률Thinking conditionally Thinking conditionally is a condition for thinking. 조건부로 생각하는 것은 생각하는 것에 대한 조건이며, 다시 말해 명확하게 생각할 수 없다는 것. 조건부로 생각하는 건 어떤 사실, 주어진 정보 등을 고려해 생각한다는 것이고, 생각하는 것에 대한 조건이라는 것은 옳은 생각을 하기 위해 반드시 필요한 전제라 할 수 있다. 조건을 고려하지 않고 생각하는 건 생각이 아니며, 조건을 전제해 생각해야만 사고가 성립한다는 의미인 듯 How to solve a problem in Statistics..

본 글은 네이버 부스트코스에서 제공하는 하버드 확률론 기초: Statistics 110 강의를 기초로 정리하였습니다. 독립과 배반독립사건 중 하나가 다른 사건에 대한 정보를 주지 않는 경우에 해당한다. 사건 A가 발생했다고 해서 사건 B의 발생 여부를 알 수는 없는 것과 같다. 배반사건 A가 발생했다면, 사건 B는 발생할 수 없는 경우 뉴턴-피프스 문제 각 면이 1부터 6까지 있고, 모든 면이 나올 확률이 동일한 주사위에 대해서 다음 세 가지 가능성 중 가장 확률이 높은 것. 단, 각 주사위를 던지는 실험은 독립이라 가정한다. 만약 독립이 아니라면 불공정한 주사위로 원하는 결과를 유도할 수 있다. A. 6개의 주사위 중 적어도 1개의 6이 나올 확률 ← 정답: 뉴턴의 답변B. 12개의 주사위..

본 글은 네이버 부스트코스에서 제공하는 하버드 확률론 기초: Statistics 110 강의를 기초로 정리하였습니다. Birthday ProblemK people, find a probability that 2 have same birthdays어떤 파티에 속한 여러 명의 사람들 중, 두 사람의 생일이 같을 확률 여기서 고려해볼 수 있는 요소는 다음과 같다. - 최소한 몇 명의 사람이 있어야 50%의 확률로 두 명의 생일이 같을 수 있을지- 윤년을 포함할 것인지 말 것인지 2월 29일을 제외하고 365일이 모두 동일한 확률을 가지며 각 출생은 독립이라 가정365일이 모두 동일한 확률을 가정하는 이유는, 실제로 나라와 계절 등에 따라 어느 정도의 차이가 존재하기 때문 만약 k>365라면, 이때의 ..

본 글은 네이버 부스트코스에서 제공하는 하버드 확률론 기초: Statistics 110 강의를 기초로 정리하였습니다. AdviceDon’t lose common sense상식에서 벗어난 비직관적 결과를 자주 얻을 것이지만 이것이 곧 상식을 아예 벗어난다는 것을 의미하는 것은 아니다. 합리적인 이유가 있어야 할 것. Do check your answer again특별한 경우/접근법을 시도해보고, 간단한 형태의 극단적인 경우를 시도해볼 것 Try diagram and simple examples 주어진 문제를 도식화하고 간단한 예시를 들어볼 것. Label people, objects추가 설명을 표시할 것. 넘버링 등의 방법을 통해 각 객체가 서로 다른 것처럼 인식해보자. 예를 들어, 가장 일반..

본 글은 네이버 부스트코스에서 제공하는 하버드 확률론 기초: Statistics 110 강의를 기초로 정리하였습니다. Introduction수많은 문제를 풀어보고, 그 과정에서의 패턴을 찾는 것이 중요하다. 표현을 할 때는 단어와 문장으로 수식을 읽어낸 후에 어떤 이유로 그렇게 생각하는지 명료하게 Clarity, 정직하게 Honestly, 설명 Words할 수 있어야 한다. 확률 Probability확률의 적용물리, 양자역학, 유전학, 경제학, 게임이론, 사회학, 금융(STAT 110, 123), 역사, 도박 등 다양한 분야에 확률이 사용된다. 수학은 확실성의 논리라면, 통계학은 불확실성의 논리에 해당한다. 통계학에 의한 결과는 직관에 어긋나는 것 투성이이며, 우리의 생각을 어떻게 수치로 ..