확률론 기초: Statistics 110 _ 해석을 통한 문제풀이 및 확률의 공리

본 글은 네이버 부스트코스에서 제공하는 하버드 확률론 기초: Statistics 110 강의를 기초로 정리하였습니다. 

 

 

 

Advice

Don’t lose common sense

상식에서 벗어난 비직관적 결과를 자주 얻을 것이지만 이것이 곧 상식을 아예 벗어난다는 것을 의미하는 것은 아니다. 합리적인 이유가 있어야 할 것.

 

Do check your answer again

특별한 경우/접근법을 시도해보고, 간단한 형태의 극단적인 경우를 시도해볼 것

 

Try diagram and simple examples

주어진 문제를 도식화하고 간단한 예시를 들어볼 것. 

 

Label people, objects

추가 설명을 표시할 것. 넘버링 등의 방법을 통해 각 객체가 서로 다른 것처럼 인식해보자. 

 

예를 들어, 

가장 일반적인 경우는 n=1, 가장 극단적인 경우는 n=0, 계산하기 간단하지만 유의미한 값은 n=2를 대입해본다. 

n명의 사람이 있을 때 1, 2, ···, n까지 나열해볼 수 있고, 빨간색 공 r개와 초록색 공 g개가 있다면, 1, ···, r, r+1, ···, r+g 와 같이 표현해볼 수 있다. 

 

10명의 사람을 각각 6명, 4명의 팀으로 구성해본다면 아래와 같은 식을 사용해 나타낼 수 있다.

 

 

올바르게 구조화시킨다면 단순한 정의를 적용해볼 수 있다.

많은 고민을 해보고 그에 따라 구조화를 시도해보자. 

 

 

 

표본 표 Sampling table

	순서 고려	순서 고려 X
복원 추출	각 자리마다 n가지 선택 가능	중복 조합
비복원 추출	순열 Permutation	조합 Combination

 

 

Pick k times from set of n objects, where order doesn’t matter, with replacement

(n+k-1)개 중 k개를 고르는 경우의 수

 

Extreme Case

k=0	아무 것도 하지 않는 경우 → n-1개 중 0개 선택 = ({n-1} \ 0) = 1
k=1	→ n개 중 1개 선택 (n \ 1) = 1
n=2	가장 간단하면서 특별한 경우 = 구분이 불가능한 입자들이 구분 가능한 상자 안에 있는 상황 → k+1개 중 k개 선택 = k+1개 중 1개 선택 = k+1

 

 

k개의 구별 불가능한 입자를 n개의 구별 가능한 상자에 넣는 경우의 수

n+k-1개 중 k개를 고르는 경우의 수 (중복 조합)

→ 라벨링을 활용하자. e.g.  n=4, k=6 → OOO | | OO | O

 

 

Story proof

proof by interpretation 

문제에 대한 해석을 기반으로 증명하자. 

예를 들어, n개 중 k개를 선택하는 것은 n개 중 (n-k)개를 선택하는 것과 같으며 이러한 결과가 도출되는 과정을 이해하고 설명할 수 있어야 한다. 

 

 

셈을 할 때 고려해볼 수 있는 두 가지 케이스

	n명 중 k명 선택할 때 한 명을 대표로 선택하는 경우의 수  = 대표 선출 후 (k-1)명 선택 = k명 선택 후 대표 선출
	(m+n)개 중 k개 선택  = m개가 속한 그룹에서 j개, n개가 속한 그룹에서 (k-j)개 선택해 총 k개를 선택

 

 

 

Non-naive definition

모두 같은 확률을 가지지 않고, 결과의 가짓수도 유한하지 않은 경우

 

확률 공간 Probability sample

확률 공간의 구성 성분

표본 공간 S와 어떤 사건을 입력으로 하는 함수인 P로 구성된다. 즉, P의 정의역은 S의 부분 집합에 해당한다. 

 

P의 입력이 되는 어떤 사건 A는 표본 공간 S의 부분 집합이며, P(A)는 0에서 1 사이의 값을 갖는다. 

 

 

확률 공간의 두 가지 정리

두 가지 정리를 통해 모든 확률을 유도할 수 있다.